El problema de Monty Hall

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Monty Hall en acción
Monty Hall en acción

En un famoso concurso televisivo, el participante es requerido para elegir una puerta entre tres (todas cerradas) y su premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la puerta elegida. Se sabe que una de ellas oculta un coche y que tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante ha elegido una puerta y comunica su elección, Monty, el presentador, abre una de las puertas restantes y muestra que detrás de ella hay una cabra. En este momento se le da la opción al concursante de cambiar de puerta si lo desea. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta?

Cabra o Coche
Cabra o Coche

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El participante debe cambiar su elección inicial para aumentar las probabilidades de llevarse el coche.

Veamos porqué. La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de perder, o sea, de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3.

¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?. Si el jugador ha escogido en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas sin premio. En este caso, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene una opción para abrir una puerta que contiene la cabra. En ese caso, la puerta que no abrió el presentador, tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar siempre su elección.

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador tal como acabamos de ver.

Una forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas solo hay cabras. Si el concursante no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las 98 puertas), ¡99 de cada 100 veces!

Puedes encontrar más información de este problema en la Wikipedia

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